Circunferencia de los Nueve Puntos. Recta de Euler: Triangulo, Circunferencia Circunscrita, Alturas, Ortocentro, Medianas, Baricentro, Mediatrices, Circuncentro, Puntos Colineales. Nivel: Educación Secundaria, Pre-Universitaria, Bachillerato.

El centro de los nueve puntos es el centro de la circunferencia de los nueve puntos. La Circunferencia de los Nueve Puntos de un triangulo ABC de ortocentro H es la circunferencia que pasa por los pies de las alturas H_A, H_B y H_C de los tres lados, los puntos medios M_A, M_B y M_C de los lados, y los puntos de Euler E_A, E_B y E_C, los cuales son los puntos medios de los segmentos AH, BH, y CH, respectivamente.

La Recta de Euler es la recta que pasa por el ortocentro H, el centro de los nueve puntos N, el centroide o baricentro G, y el circuncentro O de un triangulo cualquiera ABC. 

• El centro de los nueve puntos N es el punto medio de la recta HO.

• La distancia del ortocentro H al baricentro G es el doble de la distancia del circuncentro O al baricentro G.

• El centro de los nueve puntos N es el circuncentro del triangulo medial M_AM_BM_C.

• El centro de los nueve puntos N es el circuncentro del triangulo ortico H_AH_BH_C.

El circulo de los nueve puntos también es conocido como el circulo de Euler y circulo de Feuerbach. Leonardo Euler demostró en 1765 que el circulo de los nueve puntos biseca a cualquier recta que une el ortocentro con un punto de la circunferencia circunscrita. En 1822 Karl Feuerbach descubrió que el circulo de los nueve puntos de cualquier triangulo es tangente a las tres circunferencias exinscritas o excirculos y tangente internamente a la circunferencia inscrita o incirculo.